Javi (mail, 27 de mayo):

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"Luego de controlar mi transtorno obsesivo-compulsivo que está al límite con eso de que la cadena de mensajes se llame "Para el martes 10...", pero para no separar el mensaje del resto, les dejo por escrito algo como lo que dije el martes sobre las foliaciones, un poco bajado a tierra y pasado por el filtro del transtorno mencionado recién.
 

Si les embola leer, probé con diferentes búsquedas en google y esta me dio imágenes bastante lindas y representativas

https://www.google.com/search?q=foliation+math&client=firefox-b-ab&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwij-9TxqPnMAhVKTSYKHRsPDMsQ_AUIBygB&biw=1152&bih=735
 

En las imágenes hay superficies foliadas con curvas, y espacios foliados con superficies.

Esto que escribo es sobre superficies foliadas con curvas, pero hay definiciones y teoría hechas para más dimensiones. Lo primero que hay que pensar es en la recta y el plano como algo "flexible", no rígido como se acostumbra en la geometría que nos muestran en el liceo. 
 

Una superficie (suave) es un conjunto de puntos, que en cada punto si se mira un trocito donde está "muy de cerca" es como si se estuviera mirando un pedacito de plano. Ejemplos: el plano mismo, un cilindro (sin las tapas), las tapas del cilindro pero sueltas, un cono (sin la punta y sin la base), una esfera (la superficie, no lo de adentro), una dona, un inflable, un guante, etc. Observemos que lo que "localmente" es un plano, "globalmente" puede tener una gran diversidad de formas (una hormiga no distingue si está parada sobre una pelota o sobre una cancha, y de la misma forma los antiguos pensaban que estábamos en una tierra plana cuando en realidad estamos en algo que es como una esfera).
 

Una superficie foliada, es cuando además al mirar de cerca en cada punto hay una especie de "dirección preferencial" si en cada punto se sigue esa dirección, se termina dibujando una curva. Cada una de esas curvas se llama "hoja" de la foliación. Entonces un trocito de superficie foliada mirado muy de cerca se asemeja a un plano donde se puede ver una familia de líneas paralelas (que también miradas muy de cerca son como pedacitos de recta). Ejemplos: el plano con rectas paralelas, el cilindro con círculos paralelos, el cilindro con rectas, el cono de cualquiera de las dos formas mencionadas antes (los últimos ejemplos pueden ser un barquillo o un cucurucho, siguiendo alguna de las dos direcciones de la cuadrícula que tienen).
Así se obtienen bastantes ejemplos pero no los suficientes, así que muchas veces en la teoría se admiten foliaciones con singularidades, esto es, algunos puntos en donde no existe una tal dirección preferencial. Ejemplos: la Tierra con los paralelos (los polos son singularidades), la Tierra con los meridianos (lo mismo), las huellas digitales (hay puntos donde algunas líneas se "bifurcan" estos son singularidades), mis guantes, los mapas de geografía donde se marca el relieve.
 

Algunas superficies son compactas, esto es, son cerradas y acotadas (de los ejemplos anteriores las compactas son la esfera, la dona y los inflables). En las que no son compactas puede haber trayectorias divergentes, hacia los bordes o hacia el infinito. Pero en las compactas no, de alguna manera no se puede ir uno "alejándose de todo", siempre la trayectoria acumula en algún punto, esto es, existe al menos un punto por el cual la trayectoria pasa infinitamente cerca.
 

De la misma manera, las líneas que describe una foliación pueden ser compactas o no. Acá es más fácil, las compactas son las que se cierran como un círculo, y en las no compactas se ve claramente la noción del infinito.

Yo solamente sé estas cosas porque leí un poco o porque me las contaron (tengo una compañera de oficina que es experta en estas cosas), pero un par de propiedades me parecen interesantes:
 

Si una superficie compacta tiene una hoja que no es compacta, entonces la hoja necesariamente acumula en algún lugar, esto es que hay un punto cerca del cual esa hoja pasa infinitas veces tan cerca como se quiera. Esto es un resultado que ya mencioné arriba y vale para trayectorias en general (no necesariamente relacionadas con una hoja), está asociado a un término conocido como recurrencia. Mi amiga puso en palabras algo que yo tenía también en la cabeza al ensayar y ensayar, y es que si en un espacio finito, compacto, desarrollamos una ley de movimiento durante un tiempo extenso (potencialmente infinito), necesariamente hay lugares a los que volvemos y volvemos y volvemos (que es un poco algo que creo que experimentamos). Puede haber más explicaciones para este fenómeno, para mí esta puede ser una.
 

Un problema interesante es observar una superficie y determinar qué tipo de foliaciones admite (ya vimos por ejemplo que un cilindro admite dos, y son bien distintas). Una cosa interesante es que de las superficies compactas, solamente una (la dona) admite foliaciones sin singularidades. O sea, hay muchas superficies en las cuales toda foliación tiene al menos una singularidad (y por ejemplo en la esfera se demuestra que tiene que haber al menos dos singularidades). Esto me pareció interesante porque la palabra "singularidad" viene surgiendo en nuestro trabajo, tal vez con otra connotación, pero tiene en común que es un punto donde "se rompe" la regla, la homogeneidad. Esto me dispara la cuestión de que hay espacios (físicos, o de trabajo, o espacios como universos donde se cumplan determinadas consignas), que tal vez no admiten leyes de movimiento totalmente uniformes, o sea que sea cual sea la consigna común que se busque, necesariamente en agún punto se observa (aflora, emerge) una singularidad."